chapitre 3: Caractérisation des données

L'histogramme et le polygone des effectifs donnent une vue globale et détaillée de la distribution des individus dans un échantillon ou une population.

Il est souvent très utile d'extraire de cette information des grandeurs numériques qui en résument les caractéristiques essentielles.

Nous passerons tout d'abord en revue les grandeurs mesurant le centre de la distribution.

Ensuite, nous considérerons les différentes mesures de l'étalement ou dispersion de la distribution.

1.  Centre d'une distribution

Il correspond au sommet de la distribution

c'est la valeur la plus «à la mode»

On appelle distribution unimodale une distribution présentant un seul mode

Une distribution bimodale est une distribution présentant deux modes

Une distribution multimodale est une distribution présentant plusieurs modes (2,3,...). Elle est souvent le reflet d'une population composée de plusieurs sous-populations distinctes.

Par exemple, le polygone des fréquences ci-dessous, qui représente la distribution de la taille des individus dans une population adulte, présente deux modes. Ceux-ci sont le reflet de la présence de deux sous-populations: les femmes et les hommes, ces derniers étant généralement plus grands.

Elle correspond au milieu de la distribution

Pour déterminer la médiane d'un échantillon ou d'une population:
   (1)  on classe les individus par ordre croissant;
   (2)  on prend celui du milieu

Exemple:

• Soit un échantillon de 9 personnes dont le poids est:
  
  

  
  

  classés par ordre croissant:
  
  

  
  

• Si le nombre d'individus est pair, on prend la moyenne entre les deux valeurs centrales:
  
  

  

En règle générale, si n est le nombre d'individus dans l'échantillon, la médiane porte le numéro d'ordre

dans la suite des individus classés par ordre croissant.

Lorsqu'on obtient un numéro demi entier (ex: 24,5), on calcule la moyenne des deux valeurs adjacentes.

Calcul de la médiane pour les grands échantillons répartis en classes

• Déterminez le numéro d'ordre de la médiane
  
  

• Déterminez dans quelle classe elle se situe à l'aide du tableau des nombres cumulés
  
  

• Rangez par ordre croissant les éléments (individus) de cette classe
  
  

• Sélectionnez l'élément (individu) correspondant au numéro choisi

Exemple:

Soient les pourcentages obtenus par 49 élèves à un examen, rangés par classes de 10 pourcents de large

49 individus la médiane porte le n°25

car, d'après le tableau des nombres cumulés, cette classe contient les individus portant les numéros d'ordre 20 à 26.

Examinons le contenu de cette classe:

46 - 42 - 45 - 44 - 50 - 43 - 49

Rangeons-les par ordre croissant:

42 - 43 - 44 - 45 - 46 - 49 - 50

Il y a 19 individus dans les classes précédentes
Le premier de cette classe porte le n°20 et nous devons choisir le 25^e

La médiane vaut donc 49

Elle correspond à une répartition "équitable" de la grandeur mesurée sur tous les individus

La moyenne d'une grandeur X est généralement notée

Exemple:

• Dans le précédent échantillon de 9 personnes, le poids moyen vaut:
  

  

• Dans le second échantillon de 10 personnes, le poids moyen vaut:
  

  

Pour un échantillon de n individus, la moyenne est calculée par:

En utilisant la lettre grecque pour représenter une somme, on obtient la notation compacte suivante:

Pour des données groupées en classes, on peut calculer une valeur approximative de la moyenne en supposant que tous les individus d'une classe se situent au centre de celle-ci.

Dans l'exemple précédent (9 personnes), la répartition est la suivante:

Si x est le centre de la classe et f le nombre d'individus dans celle-ci, la formule approchée s'écrit:

Dans l'exemple précédent, la formule approchée donne un poids moyen de 62,2 kg au lieu de 62 kg.


La formule approchée donnera des résultats d'autant meilleurs que:

• les classes seront étroites

• le nombre d'individus par classe sera grand

Distribution unimodale et symétrique

Distribution asymétrique

A. Distribution étalée é droite:

B. Distribution étalée é gauche:

Exemple:

Répartition des revenus dans une population.

Le mode est la plus mauvaise mesure du centre, car la classe la mieux représentée n'est pas nécessairement au centre de la distribution.

Si les valeurs entrêmes sont modifiées, la médiane ne change pas car elle n'est pas sensible aux valeurs extrêmes. Par contre la moyenne change car elle tient compte de toutes les valeurs.
On préferera la médiane ou la moyenne selon que l'on veut une mesure sensible ou non aux valeurs extrêmes.

2.  Etalement d'une distribution

Supposez que l'on désire comparer les revenus des ouvriers d'une usine à ceux de l'ensemble de la population de leur région.

Les résultats sont résumés sur l'histogramme suivant:

Dans ce cas, les deux distributions ont le même centre mais elles sont manifestement différentes:

elles diffèrent par leur dispersion

Mesures de la dispersion

Exemple:

Les poids de 35 garçons de 2^e candi. communication (97-98) sont repris dans le tableau et l'histogramme suivants:

Pour caractériser l'étendue d'une distribution, les statisticiens ont introduit toute une série de grandeurs, dont nous allons considérer les principales.

L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

Dans l'exemple précédent, le calcul exact donne:     89 - 52 = 37 kg

Un calcul approché, prenant en compte le centre des classes, donnerait:     87 - 52 = 35 kg

Le premier quartile est l'individu ayant 25 % de l'échantillon en-dessous de lui et 75 % de l'échantillon au-dessus.

Le deuxième quartile est l'individu ayant 50 % de l'échantillon en-dessous de lui et 50 % de l'échantillon au-dessus.

(c'est donc la médiane)

Le troisième quartile est l'individu ayant 75 % de l'échantillon en-dessous de lui et 25 % de l'échantillon au-dessus.

Dans notre exemple, on a:

1^er quartile = 65 kg
2^me quartile = 76 kg

Etendue interquartile (EIQ) = 76-65 = 11 kg

n°		poids (kg)
1 2 3 4 5 6 7 8		52 58 60 60 62 62 63 65
9		65	1er quartile
10 11 12 13 14 15 16 17		65 66 70 70 72 72 74 74
18		74	médiane	EIQ: 76-65 = 11 kg
19 20 21 22 23 24 25 26		75 75 75 75 75 75 75 75
27		76	3ème quartile
28 29 30 31 32 33 34 35		78 80 80 80 87 88 88 89

On désire une quantité qui mesure l'écart moyen par rapport à la moyenne.

On ne peut pas simplement calculer la moyenne des écarts, car celle-ci est toujours nulle.

Exemple:

Soient les 5 valeurs suivantes: 4, 6, 9, 10, 11

La moyenne vaut:

moyenne des écarts:

Ce résultat est toujours valable, il résulte de la définition de la moyenne.

L'écart absolu moyen est la moyenne des écarts par rapport à la moyenne, toujours comptés positifs.

C'est donc la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne.

Dans le dernier exemple, il vaut:

Pour des raisons mathématiques, il est préférable, pour éliminer les signes -, de calculer le carré des écarts plutôt que leur valeur absolue.

On calcule donc la moyenne des carrés des écarts, puis on en prend la racine carrée:

Dans l'exemple ci-dessus, on a:

Toujours pour des raisons mathématiques, il est préférable, de diviser par n-1 plutôt que par n pour estimer précisément la dispersion d'une population à partir d'un échantillon.

On obtient alors l'écart type, qui est préférable à l'écart quadratique moyen, et l'on retiendra seulement la formule suivante:

Dans l'exemple ci-dessus, on a:

Pourquoi l'écart type est-il préférable à l'écart quadratique moyen ?

Si on se contentait de décrire l'échantillon, l'écart quadratique moyen serait une bonne mesure de la dispersion.

Mais, en général, nous sommes intéressés par la population sous-jacente, dont l'échantillon n'est qu'une partie (supposée représentative).

On veut donc estimer la moyenne et la dispersion de la population à partir de l'échantillon.

Cas extrême:

Supposons que nous ne disposions que d'un échantillon de 1 individu.

On peut estimer le poids moyen de la population: ce sera le poids de l'individu (ex.: 65 kg)

L'écart quadratique moyen donnerait une dispersion nulle, ce qui suggère que toute la population pèse 65 kg !

L'écart type nous indique que nous ne pouvons pas estimer la dispersion dans la population si notre échantillon ne comporte pas au moins 2 individus, (car on ne peut pas diviser par zéro).

Calcul de l'écart type pour un échantillon réparti en classes

On peut calculer une valeur approchée de l'écart type en supposant que tous les individus d'une classe sont au centre de celle-ci:

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